Indications pour la résolution de quelques exercices de topologie

TD3 Exercice 3

Faire attention aux hypothèses : lorsqu’on dit «$f_{|A}$ est continue», on considère la topologie induite sur $A$.

1 Considérer par exemple $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ définie par $f(x) = 0$ si $x<0$ et $f(x) = 1$ sinon.

2 Appliquer la caractérisation «$f$ est continue ssi pour tout fermé $F$, $f^{-1}(F)$ est fermé» (et de manière analogue pour les ouverts).

2 (Niveau 2) Soit $F\subset X$. $F = (F\cap A) \cup (F\cap B)$.

2 (Niveau 3) $f^{-1}(F) = f^{-1}(F\cap A) \cup f^{-1}(F\cap B)$.

2 (Niveau 3+) $f^{-1}(F) = f_{|A}^{-1}(F\cap A) \cup f_{|B}^{-1}(F\cap B)$. On pourra utiliser (ou s’inspirer) de TD1 Exercice 12.

TD3 Exercice 4

Bien se souvenir de la définition d’un homéomorphisme.

1 Appliquer la caractérisation «$f$ est continue ssi pour tout ouvert $U$, $f^{-1}(U)$ est ouvert»

1 (Niveau 2) Ici, justifier qu’il suffit de considérer des intervalles ouverts $U$, c’est-à-dire justifier que si «Pour tout intervalle ouvert $U$, $f^{-1}(U)$ est ouvert», alors $f$ est continue. (La réciproque est vraie mon on s’en fiche ici.)

1 (Niveau 2+) Pour faire l’indication ci-dessus : les intervalles ouverts forment une base d’ouverts de la topologie

1 (Niveau 3) Si $U = ]a,b[$ est un intervalle ouvert montrez que $f^{-1}(U) = ]f^{-1}(a), f^{-1}(b)[$. (Si $a=-\infty$ ou $b = +\infty$, ceci n’est pas complètement rigoureux. Comment régler ce problème ?)

1 (Niveau 3+) Pour ce qui précède: cela découle des hypothèses: $a<x<y \Leftrightarrow f(a) < f(x) < f(b)$.

2 Il s’agit de l’écriture en coordonnées polaire. La bijectivité en découle (c’est un peu pénible à refaire à la main).

2 La continuité découle des théorèmes de contiuités de compositions et mutliplication d’applications continue.

2 (Niveau 2) Pour montrer que la réciproque est continue, expliciter la réciproque. Le rayon est facile a exprimer. Pour l’angle, il peut s’exprimer avec $\arccos$, $\arcsin$ ou $\arctan$. On peut avoir besoin de plusieurs cas (selon les signes de $x$ et $y$).

2 (Niveau 2, alternatif) Alternativement, on peut utiliser le théorème d’inversion locale: justifier que l’application est un difféomorphisme locale. Et comme elle est bijective, c’est un difféomorphisme global. C’est donc un homéomorphisme.

2 (Niveau 2) Sur $]0,+\infty[\times ]-\pi,\pi]$, la bijectivité et continuité est la même que sur $]0,+\infty[\times ]-\pi,\pi[$. Si l’application est bijective continue, qu’est-ce qui peut l’empếcher d’être un homéomorphisme ?

2 (Niveau 3) Que devient l’angle si on approche $(-1,0)$ par au dessus? Et par en dessous?